Molti problemi geotecnici, in virtù delle loro proprietà geometriche, possono essere ricondotti ad uno studio in 2D. Appartengono a questa classe i problemi in cui la dimensione longitudinale è prevalente sulle altre (rilevati, opere di sostegno, gallerie) e quelli caratterizzati da simmetria assiale (pali, fondazioni circolari). La condizione di simmetria deve sussistere anche per carichi esterni e condizioni imposte.
L’assunzione di simmetrie
La trattazione del problema geotecnico si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. Per agevolare il processo di risoluzione è conveniente, nei casi in cui tale operazione è lecita, assumere adeguate idealizzazioni e ipotesi semplificatrici. In particolare, il comportamento del terreno viene espresso sotto forma di un’espressione matematica (legame costitutivo). Per effetto delle particolari caratteristiche evidenziate da molti problemi fisici, anche la geometria e/o le condizioni al contorno vanno spesso incontro ad accettabili semplificazioni.
Stato piano di deformazione
Sistemi geotecnici come opere di sostegno, fondazioni continue e rilevati arginali generalmente presentano una geometria caratterizzata da una dimensione longitudinale prevalente sulle altre. Ne consegue che, se le condizioni al contorno espresse in termini di forze o spostamenti sono perpendicolari alla dimensione prevalente, tutte le sezioni trasversali si comporteranno in maniera equivalente. Se si indica con l’asse z tale dimensione, si può assumere nullo lo spostamento relativo tra le sezioni parallele al piano (x; y). Ciò implica w = 0 e u, v indipendenti da z. Le componenti di deformazione sono legate al vettore spostamento dalle equazioni di compatibilità cinematica, e nel caso di stato piano di deformazione valgono:
con notevole semplificazione dal punto di vista formale della relazione costitutiva adottata.
Simmetria assiale
Alcuni problemi possiedono simmetria rotazionale o assialsimmetria. Ad esempio, una fondazione circolare caricata nel baricentro presenta tale simmetria rispetto all’asse verticale passante per il centro della fondazione. Provini di terreno per prova triassiale, pali singoli e cassoni cilindrici rappresentano altri esempi di geometrie assialsimmetriche. Solitamente, problemi di questo tipo vengono risolti con l’utilizzo delle coordinate cilindriche: r (direzione radiale), z (direzione verticale) e θ (direzione tangenziale). A causa della simmetria del problema, lo spostamento in direzione θ è nullo e gli spostamenti nelle altre due direzioni sono indipendenti da θ. Le deformazioni valgono quindi:
dove u e v sono gli spostamenti in direzione r e z rispettivamente.
Letture consigliate
Finite element analysis in geotechnical engineering: application, D.M. Potts, L. Zdravkovic. Thomas Telford (2001)
