Il problema della trave inflessa

Le equazioni differenziali che descrivono il comportamento della struttura di fondazione sono le equazioni della trave e della piastra inflessa, rispettivamente:

In esse, w rappresenta il cedimento (o sollevamento) verticale di un punto dell’asse della trave, considerato giacente sull’interfaccia situata tra la fondazione e il terreno. Esso costituisce una variabile del problema.
Nelle equazioni compaiono ovviamente le grandezze meccaniche del materiale di costruzione con cui è realizzata la fondazione: J è il momento d’inerzia della sezione nel caso di trave di fondazione; D = E_fh³ / 12 (1- ν_f²) è la rigidezza flessionale della piastra di fondazione, di cui h ne rappresenta lo spessore. E_f e n_f sono rispettivamente il modulo di Young e il rapporto di Poisson relativi al materiale di costruzione utilizzato.

Infine, le equazioni contengono anche il carico applicato q e la pressione di contatto all’interfaccia fondazione-terreno p. A differenza del carico applicato che è generalmente un dato del problema, la pressione di contatto rappresenta la seconda variabile del problema.

Il bilancio tra equazioni e variabili viene soddisfatto nel momento in cui, all’equazione della trave (o piastra) inflessa descrivente il comportamento della struttura di fondazione venga associata un’ulteriore equazione che definisca il comportamento del terreno, e in particolare esprima gli spostamenti all’interfaccia tra la fondazione e il terreno w in funzione della distribuzione delle tensioni di contatto p:

Una volta assunto un determinato modello di sottosuolo, viene dunque specificata la relazione tra spostamenti verticali e pressioni di contatto. La relazione può essere rappresentata attraverso un’equazione di tipo algebrico, in forma differenziale o integrale. Evidentemente, a scelte differenti in termini analitici corrispondono altrettanti significati fisici del modello.

Letture consigliate

Fondazioni, C. Viggiani. Hevelius Edizioni (1999)

Il problema dell’interazione terreno-fondazione-struttura

Nel caso in cui la finalità dell’analisi consista nella determinazione delle caratteristiche di sollecitazione nelle fondazioni, il problema generale dell’interazione terreno-fondazione-sovrastruttura viene generalmente semplificato in uno studio dell’interazione fra due soli componenti: il terreno e la fondazione. La sovrastruttura non è esplicitamente inclusa nell’analisi e i carichi trasmessi alla fondazione sono determinati partendo dall’assunto che la loro entità non sia influenzata dai cedimenti della fondazione stessa. I carichi sono pertanto ricavati attraverso un’analisi della sovrastruttura supposta a vincoli fissi, oppure mediante un’analisi dei carichi semplificata per aree di competenza degli elementi strutturali verticali.

A rigore, l’assunzione dell’indipendenza dell’entità dei carichi dalla distribuzione dei cedimenti in fondazione è valida solo nel caso di sovrastruttura staticamente determinata, oppure nel caso in cui la sovrastruttura sia caratterizzata da una rigidezza molto inferiore a quella della fondazione. Negli altri casi, tale approssimazione potrebbe condizionare in maniera sostanziale la predizione del regime statico della struttura.

Nello studio dell’interazione terreno-fondazione vengono inoltre formulate altre ipotesi di carattere generale:

• Lo sforzo al contatto tra fondazione e terreno è usualmente di tipo puramente normale, nell’ipotesi di “fondazione liscia”. Sulla superficie di contatto tra fondazione e terreno si generano in via del tutto generale anche tensioni tangenziali, come conseguenza di spostamenti orizzontali relativi tra terreno e fondazione.
• Il contatto tra fondazione e terreno è supposto agire come un vincolo bilaterale e cioè capace di resistere a compressione e a trazione. Questa ipotesi, infondata dal punto di vista fisico, non ha tuttavia un impatto rilevante dal punto di vista pratico perché nella maggioranza dei casi, per fondazioni correttamente progettate le tensioni di contatto sono solamente di compressione. In linea di principio, una trattazione del problema nella ipotesi di vincolo unilaterale non comporterebbe una complicazione eccessiva del problema; in questo caso però la natura del fenomeno diverrebbe non lineare, con tutte le implicazioni conseguenti (necessità di approccio incrementale o iterativo, inapplicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti).

Lo studio dell’interazione tra terreno e fondazione richiede che siano soddisfatte, nei due componenti e all’interfaccia, le condizioni di equilibrio e congruenza. Vista la complessità di modellazione, talvolta è necessario modellare ciascuno dei due elementi in via semplificata, in maniera tale da permettere l’analisi.

Nella determinazione del modello adeguato dal punto di vista del compromesso tra accuratezza della soluzione e onere computazionale, si fa riferimento in genere a tre aspetti:

• Fedeltà della risposta del modello geotecnico al comportamento previsto;
• Risolvibilità del modello con gli strumenti tipici dell’Ingegneria Geotecnica (metodi analitici, numerici etc.);
• Significato fisico dei parametri di input del modello, e possibilità di una loro adeguata determinazione dal punto di vista pratico.

La grande diffusione dei metodi di analisi numerica, resa possibile dalla comune disponibilità di calcolatori di grande potenza, ha al giorno d’oggi di fatto ridimensionato l’importanza del secondo requisito rispetto agli altri due.

Inoltre, le tipiche strutture di fondazione superficiale (trave, piastra etc.) sono in genere elementi relativamente semplici dal punto di vista strutturale, per i quali il modello di comportamento meccanico è ben conosciuto. Per la corretta risoluzione del problema la massima attenzione deve essere pertanto riposta nella modellazione del terreno.

Letture consigliate

Fondazioni, C. Viggiani. Hevelius Edizioni (1999)