Legge di Darcy e tensore di permeabilità

Si consideri un elemento di terreno i cui pori siano interamente riempiti d’acqua (condizione satura). Inoltre, si ipotizzi l’incompressibilità dei grani e del fluido interstiziale. A condizione di assenza di pozzi o sorgenti, una diminuzione di volume dell’elemento deve essere necessariamente pari alla quantità di acqua espulsa dai pori.

Quanto scritto si traduce nell’equazione di continuità:

con t variabile tempo, v velocità del flusso nei pori e ε_v deformazione volumetrica (positiva se di compressione).

Nel 1856 Darcy dimostrò l’esistenza di una relazione lineare tra il gradiente idraulico e la velocità del conseguente moto di filtrazione attraverso un mezzo poroso saturo in condizioni di flusso in regime laminare. Esprimendo il gradiente idraulico come la variazione del carico idraulico in un tratto infinitesimo di terreno, la legge di Darcy si può scrivere nella forma:

avendo indicato con s una generica coordinata spaziale. Il coefficiente k prende il nome di coefficiente di conducibilità idraulica. Tale coefficiente dipende dalla porosità del terreno, dalla viscosità del fluido e dunque dalla temperatura. Nelle applicazioni più comuni dell’Ingegneria Geotecnica, in assenza di rilevanti variazioni termiche, è possibile considerare il coefficiente di conducibilità come indipendente dalla viscosità del fluido, e si fa generalmente riferimento al termine “coefficiente di permeabilità”. In generale il moto del fluido può avvenire in diverse direzioni. Per tale motivo si può riscrivere la legge di Darcy nel modo seguente:

in cui kij è la matrice dei coefficienti di permeabilità. Si può dimostrare che la matrice sia in realtà un tensore doppio simmetrico, detto tensore di permeabilità. In virtù delle sue proprietà, può essere descritto da una matrice diagonale in cui compaiono solo i coefficienti di permeabilità nelle direzioni principali:

Ad eccezione di casi molto particolari, i depositi naturali di terreno presentano la medesima permeabilità nelle due direzioni orizzontali principali, la quale risulta generalmente maggiore rispetto a quella in direzione verticale.

Infatti, nel processo di deposizione, i grani di terreno per gravità tendono a disporsi con l’asse maggiore in direzione orizzontale. I componenti del tensore di permeabilità si riducono quindi a due: kx = ky e kz.

Letture consigliate

Fondamenti di meccanica delle terre, R. Nova. McGraw-Hill Education (2014)

La consolidazione monodimensionale

Si immagini di applicare un carico su uno strato di terreno. Assumendo grani e fluido interstiziale incompressibili, il terreno può modificare il suo assetto solo espellendo l’acqua dai pori. Se la permeabilità è molto bassa (come nel caso dei terreni a grana fine), il tempo in cui può avvenire l’espulsione dell’acqua è molto lungo. L’applicazione del carico può essere quindi considerata istantanea e le deformazioni volumetriche possono essere considerate nulle per un certo intervallo temporale. Tale vincolo cinematico si manifesta nella ripartizione di carico tra i grani e l’acqua interstiziale. Simultaneamente all’applicazione del carico, si generano sovrappressioni (u^e) rispetto alle condizioni iniziali. Nonostante la bassa permeabilità, col passare del tempo, l’acqua fuoriesce dai pori permettendo il verificarsi di deformazioni volumetriche e il trasferimento di tensioni dall’acqua ai grani. Questo processo prende il nome di consolidazione.

Si consideri uno strato di argilla, isotropo, saturo, infinitamente esteso e di spessore 2H, poggiante su un substrato sabbioso (drenante). Si immagini di caricare la superficie libera con un carico q uniformemente distribuito e istantaneo. In queste condizioni, la velocità di flusso e la deformazione volumetrica hanno solo la componente lungo l’asse z diversa da zero. L’equazione di continuità si può quindi riscrivere nel seguente modo:

dove cv è il coefficiente di consolidazione verticale. Il coefficiente ingloba le caratteristiche del fluido (permeabilità kv) e dello scheletro solido (il coefficiente di compressibilità verticale mv). Nonostante la variazione dei parametri che lo definiscono, è lecito assumere cv costante lungo il processo di consolidazione. La risoluzione dell’equazione, con opportune condizioni iniziali e al contorno, è risolvibile in via analitica. È possibile ricavare il valore della sovrappressione in ciascun punto dello strato al variare del tempo (curve isocrone) e ricavare l’andamento dei cedimenti. La variabile tempo viene espressa in funzione di un parametro adimensionale Tv definito come:

Per valori di Tv molto piccoli, nella parte centrale dello strato risulta u^e ≈ q, mentre, per valori di Tv molto grandi, le sovrappressioni sono pressoché nulle in tutto lo strato.

È importante osservare che Tv è inversamente proporzionale al quadrato del percorso di drenaggio H, ovvero la lunghezza massima che una goccia d’acqua può percorrere prima di essere espulsa dallo strato.

Il rapporto tra il cedimento valutato al tempo t e il cedimento a fine consolidazione prende il nome di grado di consolidazione medio:

Naturalmente, con U ≈ 1, il processo di consolidazione si considera concluso.

Il problema può essere risolto analogamente per condizioni al contorno e iniziali diverse da quelle considerate in questo esempio.

In ultimo, si osserva che alla luce delle numerose ipotesi semplificative necessarie alla risoluzione analitica del problema (tra cui mezzo saturo e terreno elastico-lineare) occorre valutare l’influenza del reale comportamento del terreno e delle condizioni di saturazione per evitare di fare uso inappropriato della soluzione analitica.

Letture consigliate

Fondamenti di meccanica delle terre, R. Nova. McGraw-Hill Education (2014)