La legge di Darcy introduce una relazione lineare tra gradiente idraulico e velocità di filtrazione nel mezzo poroso saturo in condizioni di flusso laminare. La permeabilità del mezzo viene comunemente espressa dalla matrice di coefficienti di permeabilità, a rigore rappresentati da un tensore doppio simmetrico.
Legge di Darcy e tensore di permeabilità
Si consideri un elemento di terreno i cui porisiano interamente riempiti d’acqua (condizione satura). Inoltre, si ipotizzi l’incompressibilità dei grani e del fluido interstiziale. A condizione di assenza di pozzi o sorgenti, una diminuzione di volume dell’elemento deve essere necessariamente pari alla quantità di acqua espulsa dai pori.
Quanto scritto si traduce nell’equazione di continuità:
con t variabile tempo, v velocità del flusso nei pori e εv deformazione volumetrica (positiva se di compressione).
Nel 1856 Darcy dimostrò l’esistenza di una relazione lineare tra il gradiente idraulico e la velocità del conseguente moto di filtrazione attraverso un mezzo poroso saturo in condizioni di flusso in regime laminare. Esprimendo il gradiente idraulico come la variazione del carico idraulico in un tratto infinitesimo di terreno, la legge di Darcy si può scrivere nella forma:
avendo indicato con s una generica coordinata spaziale. Il coefficiente k prende il nome di coefficiente di conducibilità idraulica. Tale coefficiente dipende dalla porosità del terreno, dalla viscosità del fluido e dunque dalla temperatura. Nelle applicazioni più comuni dell’Ingegneria Geotecnica, in assenza di rilevanti variazioni termiche, è possibile considerare il coefficiente di conducibilità come indipendente dalla viscosità del fluido, e si fa generalmente riferimento al termine “coefficiente di permeabilità”. In generale il moto del fluido può avvenire in diverse direzioni. Per tale motivo si può riscrivere la legge di Darcy nel modo seguente:
in cui kij è la matrice dei coefficienti di permeabilità. Si può dimostrare che la matrice sia in realtà un tensore doppio simmetrico, detto tensore di permeabilità. In virtù delle sue proprietà, può essere descritto da una matrice diagonale in cui compaiono solo i coefficienti di permeabilità nelle direzioni principali:
Ad eccezione di casi molto particolari, i depositi naturali di terreno presentano la medesima permeabilità nelle due direzioni orizzontali principali, la quale risulta generalmente maggiore rispetto a quella in direzione verticale.
Infatti, nel processo di deposizione, i grani di terreno per gravità tendono a disporsi con l’asse maggiore in direzione orizzontale. I componenti del tensore di permeabilità si riducono quindi a due: kx = ky e kz.
Letture consigliate
Fondamenti di meccanica delle terre, R. Nova. McGraw-Hill Education (2014)
