L’assunzione di simmetrie

La trattazione del problema geotecnico si traduce nella risoluzione di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali. Per agevolare il processo di risoluzione è conveniente, nei casi in cui tale operazione è lecita, assumere adeguate idealizzazioni e ipotesi semplificatrici. In particolare, il comportamento del terreno viene espresso sotto forma di un’espressione matematica (legame costitutivo). Per effetto delle particolari caratteristiche evidenziate da molti problemi fisici, anche la geometria e/o le condizioni al contorno vanno spesso incontro ad accettabili semplificazioni.

Stato piano di deformazione

Sistemi geotecnici come opere di sostegno, fondazioni continue e rilevati arginali generalmente presentano una geometria caratterizzata da una dimensione longitudinale prevalente sulle altre. Ne consegue che, se le condizioni al contorno espresse in termini di forze o spostamenti sono perpendicolari alla dimensione prevalente, tutte le sezioni trasversali si comporteranno in maniera equivalente. Se si indica con l’asse z tale dimensione, si può assumere nullo lo spostamento relativo tra le sezioni parallele al piano (x; y). Ciò implica w = 0 e u, v indipendenti da z. Le componenti di deformazione sono legate al vettore spostamento dalle equazioni di compatibilità cinematica, e nel caso di stato piano di deformazione valgono:

con notevole semplificazione dal punto di vista formale della relazione costitutiva adottata.

Simmetria assiale

Alcuni problemi possiedono simmetria rotazionale o assialsimmetria. Ad esempio, una fondazione circolare caricata nel baricentro presenta tale simmetria rispetto all’asse verticale passante per il centro della fondazione. Provini di terreno per prova triassiale, pali singoli e cassoni cilindrici rappresentano altri esempi di geometrie assialsimmetriche. Solitamente, problemi di questo tipo vengono risolti con l’utilizzo delle coordinate cilindriche: r (direzione radiale), z (direzione verticale) e θ (direzione tangenziale). A causa della simmetria del problema, lo spostamento in direzione θ è nullo e gli spostamenti nelle altre due direzioni sono indipendenti da θ. Le deformazioni valgono quindi:

dove u e v sono gli spostamenti in direzione r e z rispettivamente.

Letture consigliate

Finite element analysis in geotechnical engineering: application, D.M. Potts, L. Zdravkovic. Thomas Telford (2001)

La viscosità dello scheletro solido

L’equazione della consolidazione monodimensionale è stata ricavata ipotizzando che il rateo delle deformazioni verticali nel tempo dipendesse unicamente da una variazione dello sforzo efficace. In realtà tutti i materiali, in maggiore o minore misura, subiscono deformazioni anche a sforzo costante (comportamento di tipo viscoso). Per descrivere un tale comportamento si utilizzano solitamente i cosiddetti modelli reologici, modelli concettuali costituiti da molle elastiche e smorzatori viscosi.

Ad esempio, si può pensare di disporre una molla e uno smorzatore in parallelo (modello di Kelvin-Voigt), con ripartizione dello sforzo tra i due componenti. Assumendo uno smorzatore lineare vale la relazione:

in cui Eed è il modulo edometrico e η prende il nome di coefficiente di viscosità. Si osservi come in analogia con il comportamento dei fluidi viscosi, lo sforzo efficace sia dipendente dalla velocità di deformazione. Nonostante in letteratura tecnica si trovino modelli concettuali più dettagliati rispetto a quello appena presentato, la ricaduta pratica di tali modelli è risultata scarsamente significativa negli anni, per il fatto che i cedimenti indotti da viscosità sono sempre stati erroneamente trattati come separati rispetto a quelli relativi alla consolidazione primaria (approccio classico), e in generale per le incertezze legate alla effettiva rappresentatività dei campioni prelevati e alla determinazione delle condizioni di drenaggio al contorno.

Nella pratica, poiché la parte finale della curva cedimento-tempo sul piano semilogaritmico è ben interpolabile da una retta, il cedimento viscoso è esprimibile attraverso la relazione:

dove H rappresenta metà dell’altezza del provino, t0 è un tempo di riferimento e cαε è un coefficiente adimensionale noto come coefficiente di consolidazione secondaria dipendente dal tipo di terreno. In particolare cαε cresce all’aumentare della plasticità dell’argilla. Per quanto concerne il tempo di riferimento t0, secondo il metodo di Casagrande in una prova di compressione edometrica esso corrisponde al tempo per cui il grado di consolidazione medio vale U = 1. Se si considera il cedimento di uno strato omogeneo di spessore 2Hs, costituito dallo stesso materiale provato in laboratorio, si avrà:

dove il tempo di riferimento t0s è correlabile con t0 attraverso la relazione:

L’approccio classico si pone tuttavia in contrapposizione con molte osservazioni dedotte in sito. È infatti documentato che i due fenomeni di consolidazione (primaria e secondaria) agiscano simultaneamente (il caso maggiormente citato in letteratura riguarda l’aeroporto internazionale KIA di Osaka). Nelle analisi numeriche condotte con i codici di calcolo più moderni, è possibile adottare modelli costitutivi che tengano in conto l’accoppiamento dei due fenomeni.

Letture consigliate

Fondamenti di meccanica delle terre, R. Nova. McGraw-Hill Education (2014)

Creep e OCR

Il legame tra la viscosità delle terre e il rapporto di sovraconsolidazione OCR è descrivibile attraverso le osservazioni sperimentali di Bjerrum & Rosenqvist (1956) e Leonards & Altschaeffl (1964) aventi come obiettivo la riproduzione dell’intero processo di deposizione di una massa di terreno attraverso prove di laboratorio. Nella prima fase del test eseguito in cella edometrica (percorso da A a B), il provino di terreno è stato caricato in maniera sufficientemente lenta da simulare il naturale processo di deposizione e compattazione per gravità. Una volta raggiunto un certo valore della tensione di preconsolidazione (σ’_vB), il carico è stato mantenuto costante per un dato lasso di tempo. Durante questa fase, il terreno ha sperimentato un’ulteriore compressione (da B a C), che, a differenza rispetto al caso precedente, è avvenuta in assenza di variazione di sforzo. Questo fenomeno definito di compressione secondaria o creep è in grado di conferire al terreno una sorta di preconsolidazione. Infatti, una volta che il terreno ha subìto un ciclo di scarico-ricarico, il suo stato tende alla retta vergine (NCL) con una tensione di preconsolidazione maggiore (σ’_vP) rispetto a quella sperimentata nella prima fase.

Tale evidenza sperimentale suggerisce che, considerando l’età dei depositi naturali, la maggior parte delle argille sia sovraconsolidata e che l’entità del rapporto di sovraconsolidazione aumenti di pari passo alla plasticità del terreno. L’ultima deduzione deriva dal fatto che, a parità di carico e di intervallo temporale, la deformazione di un elemento di terreno cresce all’aumentare dell’indice plastico. Una deformazione maggiore comporta l’abbassamento della corrispondente linea di scarico-ricarico (URL) sul piano di compressione (logσ’_v; e). A tale abbassamento è associato un incremento della tensione di preconsolidazione e quindi un aumento di OCR. D’altra parte, depositi relativamente recenti o con una storia tensionale di sola deposizione possono essere considerati normalconsolidati.

Per valutare il rapporto di sovraconsolidazione dovuto alla compressibilità secondaria si assuma, basandosi su evidenze sperimentali, una relazione lineare tra la variazione dell’indice dei vuoti e il logaritmo del tempo:

dove C_α è l’indice di compressibilità secondaria rappresentato dalla pendenza del tratto finale della curva indice dei vuoti-tempo nel piano (logt; e).

La variazione dell’indice dei vuoti tra il punto B e il punto C si può scrivere come:

Le curve di compressione primaria e di scarico-ricarico nel piano (logσ’_v; e) sono delle rette con pendenza C_c e C_s. La relazione precedente diventa allora:

il rapporto di sovraconsolidazione può quindi essere ricavato dall’espressione:

Considerando gli intervalli tipici tra gli indici di compressibilità C_s = (1/5 ÷ 1/10) C_c e C_α = (1/20 ÷ 1/30) C_c e attribuendo a molti depositi costituiti da argilla tenera un’età compresa tra i 4000 e i 10000 anni si può ricavare OCR ≈ 1.5.

Se la deformazione viscosa fosse l’unico meccanismo responsabile della preconsolidazione, tale valore di OCR sarebbe costante con la profondità. È invece noto che per un deposito di terreno soggetto a uno scarico tensionale causato da erosione, oscillazione di falda o scavo meccanico, OCR vari a partire da un valore elevato a piano campagna e tenda a 1 in profondità.

Letture consigliate

Engineering geology of norwegian normally-consolidated marine clays as related to settlements of buildings, L. Bjerrum. Géotechnique (1967)

Proprietà fondamentali delle terre

L’esame di un campione di terreno in scala ridotta permette di osservare che esso è costituito essenzialmente da grani, generalmente di varia forma, e da vuoti caratterizzati dalla presenza di aria e/o acqua. Per questo motivo quando ci si riferisce al terreno, si fa riferimento a un mezzo trifase composto da una fase solida, una liquida e una fase aeriforme.

Alla luce di quanto osservato, la densità del terreno è evidentemente funzione della composizione delle tre fasi. È opportuno quindi definire alcuni rapporti di fase tipici dell’Ingegneria Geotecnica. Il rapporto tipicamente più importante, in quanto riferito direttamente allo scheletro solido è detto indice dei vuoti. Esso è il rapporto tra il volume dei vuoti e quello occupato dai grani:

In alternativa all’indice dei vuoti esistono diverse altre espressioni per indicare il rapporto tra i volumi dei vuoti e il volume dello scheletro solido. Il volume specifico rappresenta il volume occupato dall’unità di volume della fase solida:

Si definisce infine porosità il rapporto tra il volume occupato dai vuoti e il volume totale di un elemento di terreno:

Immaginando di sottoporre un elemento di terreno ad uno sforzo di compressione, è intuitivo pensare che un elemento caratterizzato da una porosità elevata abbia più facilità nella riorganizzazione della disposizione dei grani rispetto a un terreno con porosità molto bassa, in cui i grani sono molto addensati e hanno, pertanto, minore possibilità di spostamento.

I vuoti possono essere riempiti, completamente o parzialmente, da acqua. Il grado di saturazione viene definito come il rapporto tra il volume occupato dall’acqua e il volume dei vuoti:

Un terreno è saturo per Sr = 1 e asciutto per Sr = 0, sebbene è osservabile che raramente i terreni si trovano in tali condizioni limite.

Si definisce contenuto d’acqua il rapporto tra il peso dell’acqua e il peso della componente solida di un elemento di terreno:

essendo Gs il rapporto tra il peso specifico dello scheletro solido e il peso specifico dell’acqua

Una volta definiti i rapporti tra i volumi è possibile determinare le espressioni per la densità. Si definiscono generalmente tre tipi di densità: la densità del terreno allo stato naturale, la densità asciutta e la densità satura. Ciascuna di esse è, ovviamente, un rapporto tra massa e volume.

La densità allo stato naturale è il rapporto tra la massa totale e il volume totale del terreno. La formula può essere convenientemente elaborata utilizzando i rapporti tra i volumi definiti in precedenza

La densità asciutta si ricava imponendo la condizione S_r = 0:

Analogamente la densità satura si ottiene applicando la condizione S_r = 1:

La scala delle grandezze geotecniche appena descritte fa riferimento unicamente alle proprietà volumetriche del terreno e non fornisce alcuna informazione circa la forma dei grani e la natura dei contatti interparticellari.

Letture consigliate

Fondamenti di meccanica delle terre, R. Nova. McGraw-Hill Education (2014)

Soil mechanics: a one-dimensional introduction, D.M. Wood. Cambridge University Press (2009)

Il principio degli sforzi efficaci

Il principio degli sforzi efficaci è uno dei concetti più importanti della meccanica delle terre, che descrive la legge di interazione tra le particelle del terreno ed il fluido interstiziale in un terreno saturo. La tensione efficace rappresenta la quota parte di tensione totale scambiata esclusivamente tra i grani del terreno e può essere ricavata solo in funzione delle altre due variabili tensionali misurabili: la tensione totale e la pressione interstiziale.

Si immagini di riempire una vasca colma d’acqua con del terreno: con il passare del tempo, l’acqua contenuta nella vasca tenderà ad occupare lo spazio tra i grani mentre i grani si depositeranno l’uno sull’altro a partire dal fondo. Per semplicità, si supponga che l’altezza raggiunta dal terreno nella vasca coincida con il livello dell’acqua:

Se si installasse un tubo verticale nella vasca si osserverebbe la corrispondenza tra il nuovo livello idrico (sistema costituito da acqua e terreno) e il livello relativo alla configurazione originale. La pressione interstiziale alla generica profondità può essere ricavata tramite l’equazione idrostatica: avendo indicato con la densità dell’acqua. Il calcolo della tensione verticale nel terreno, necessaria per garantire l’equilibrio della colonna che va dal piano di campagna alla profondità, si può scrivere nella forma:

avendo indicato con ρw la densità dell’acqua. Il calcolo della tensione verticale nel terreno, necessaria per garantire l’equilibrio della colonna che va dal piano di campagna alla profondità z, si può scrivere nella forma:

in cui si è specificato con ρ la densità del terreno. È ragionevole supporre che la tensione totale σz venga inizialmente distribuita tra acqua e terreno. La parte di tensione totale che deve essere sopportata dalle particelle di terreno prende il nome di tensione efficace. Essa è il risultato della differenza tra la tensione totale e la pressione interstiziale:

L’equazione precedente è la trascrizione matematica della definizione di sforzo efficace. Secondo il principio degli sforzi efficaci, nei terreni saturi le tensioni efficaci governano la risposta meccanica in tutti gli aspetti di interesse ingegneristico: deformabilità, rigidezza e resistenza.

Un’applicazione illustrativa del principio degli sforzi efficaci può essere ottenuta calcolando le tensioni verticali efficaci di due elementi di terreno, A e B, in due diverse configurazioni:

Per l’elemento A vi è una coincidenza tra la linea di falda e il piano campagna. Ne consegue che:

Al contrario, nella configurazione relativa all’elemento B, è presente una sopraelevazione h della linea di falda rispetto al piano campagna. Il calcolo della tensione efficace è dunque:

Le tensioni efficaci sono le stesse pur partendo da valori diversi di pressione interstiziale e tensione totale. Assumendo che si tratti dello stesso tipo di terreno, risposta meccanica dei due elementi alle medesime sollecitazioni sarà la stessa.

Letture consigliate

Soil mechanics: a one-dimensional introduction, D.M. Wood. Cambridge University Press (2009)